Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CAA₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть BC  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BCC₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

До­мно­жим на три­го­но­мет­ри­че­скую еди­ни­цу:

За­ме­тим, что при до­мно­же­нии на корни не по­те­ря­ны.

Из гра­фи­ка видно, что на про­ме­жут­ке ис­ход­ное урав­не­ние имеет 5 кор­ней.

Ответ: 5.

До­мно­жим на три­го­но­мет­ри­че­скую еди­ни­цу:

За­ме­тим, что при до­мно­же­нии на корни не по­те­ря­ны.

Из гра­фи­ка видно, что на про­ме­жут­ке ис­ход­ное урав­не­ние имеет 5 кор­ней.

Ответ: 5.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). Вы­ра­зим пло­щадь S осе­во­го се­че­ния APB:

По­сколь­ку S  =  4 см², то есть угол APB равен 150°, ис­хо­дя из того что по усло­вию он тупой. Пло­щадь S_осн ос­но­ва­ния ко­ну­са равна а пло­щадь S_бок бо­ко­вой по­верх­но­сти  — Две эти ве­ли­чи­ны имеют сле­ду­ю­щее от­но­ше­ние:

Так как PO  — вы­со­та, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POB имеем:

Вы­чис­лим :

Ответ: в раза.

Введём обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке (см. рис). Вы­ра­зим пло­щадь S осе­во­го се­че­ния APB:

По­сколь­ку S  =  2 см², то есть угол APB равен 90°. Пло­щадь S_осн ос­но­ва­ния ко­ну­са равна а пло­щадь S_полн пол­ной по­верх­но­сти  — Две эти ве­ли­чи­ны имеют сле­ду­ю­щее от­но­ше­ние:

Так как PO  — вы­со­та, из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POB имеем:

Итак, от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди ос­но­ва­ния равно:

Ответ: в раз.

Пусть точка O  — про­ек­ция вер­ши­ны M на плос­кость ABCD. Пер­пен­ди­ку­ля­ры из точек O и M на каж­дое из ребер ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды па­да­ют в одну точку по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Рас­смот­рим тре­уголь­ник MOT, где T  — любая из этих точек, тогда угол между бо­ко­вой гра­нью пи­ра­ми­ды и плос­ко­стью ос­но­ва­ния это угол MTO. Сле­до­ва­тель­но, все эти пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по об­ще­му ка­те­ту MO и остро­му углу, по­это­му вто­рые их ка­те­ты тоже равны. Итак, точка O рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон тра­пе­ции и по­это­му яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной в неё окруж­но­сти.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр CH к ос­но­ва­нию AD тра­пе­ции. Тогда BCHA  — пря­мо­уголь­ник, и Обо­зна­чим тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка CHD по­лу­ча­ем

По­сколь­ку ABCD  — опи­сан­ный че­ты­рех­уголь­ник, суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Зна­чит, Решим это урав­не­ние:

По­сколь­ку рас­сто­я­ния от O до ос­но­ва­ний тра­пе­ции равны, они равны по­ло­ви­не вы­со­ты тра­пе­ции, то есть 2.

В тре­уголь­ни­ке MOT те­перь на­хо­дим

Это вы­со­та пи­ра­ми­ды. Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна

Окон­ча­тель­но, объем пи­ра­ми­ды равен

Ответ: 9.

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем, что от­ку­да

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

Зна­чит, одна из его диа­го­на­лей равна а дру­гая

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда от­ку­да то есть Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

Ответ: 240.

По­сколь­ку пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию его сто­рон, умно­жен­но­му на синус угла между ними, по­лу­ча­ем что от­ку­да

Для од­но­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма сле­ду­ет взять плюс, для дру­го­го минус  — они как раз в сумме дают

Най­дем тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов диа­го­на­ли этого па­рал­ле­ло­грам­ма:

Все диа­го­на­ли па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ют­ся ги­по­те­ну­за­ми тре­уголь­ни­ков, ка­те­та­ми ко­то­рых будут бо­ко­вое ребро приз­мы и одна из диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Обо­зна­чим длину бо­ко­во­го ребра за x, тогда от­ку­да то есть Ясно, что ис­поль­зо­вать вто­рую диа­го­наль ос­но­ва­ния нель­зя.

Тогда бо­ко­вая по­верх­ность со­сто­ит из че­ты­рех пря­мо­уголь­ни­ков общей пло­ща­дью

Ответ: 432.